221. 算术或代数运算的每一步骤都包含着真正的归纳——从事实到事实的真实推理，而掩盖这种归纳本质的，正是其包罗万象的特性以及由此产生的极端普遍性语言。——密尔《逻辑体系》卷二第六章第二节
算术、代数之演算，每一步皆含真归纳之道——由实事而推实事，循理而致思。然其所以掩此归纳之质者，盖因其涵盖宏广，述语至普，能统摄万类，故其推理之真髓，隐于赅博之辞、通贯之语也。——密尔《名理统系》卷二第六章第二节
222. 所有演绎与论证科学无一例外都是归纳科学：它们的证据来自经验，但由于其归纳所依据的通用公式中某个必要部分的特殊性质，它们又都是假设性科学。其结论仅在特定假设下成立，这些假设接近（或理应接近）真理，却极少（甚至从未）完全精确；而正是这种假设性特征，造就了论证科学被认为特有的确定性。——密尔《逻辑体系》卷二第六章第一节
凡演绎实证之学，皆归纳之学也。其证皆本于阅历，然因所用公式中某必要部分之特性，亦皆为假设之学。其结论惟于特定假设乃确信，此假设近真而未尝全合，正以此假设之性，成其特具之确然。——密尔《名理统系》卷二第六章第一节
223. 数学真理的独特之处在于其必然为真；我们研习数学获得的重要启示，正是认知此类真理的存在，并熟谙其形式与特性。若教导学生否认这种差异，声称数学真理本身也来自经验，则不仅丧失此教益，更会适得其反。——休厄尔《数学研究随想·英国大学教育原则》（伦敦1838）
数学之理，独异于他学，其真也，必然而不可易。吾人究心算术，所获至要者，乃悟此必然之理实存，且精晓其体式与特质也。若训蒙子弟，令其惑于数理之源，谬言此理亦出自经验，非但失却治学真谛，更恐误人子弟，适得其反矣。——休厄尔《研算卮言·英学制论》（伦敦1838）
224. 几何、理论算术与代数这些科学，除定义与公理外别无原则，除演绎外别无论证过程；然而这个过程呈现出无与伦比的特质，展现出其他学科无法企及的简繁结合、严谨与普遍性的统一。——休厄尔《归纳科学的哲学》第一部卷二第一章第二节（伦敦1858）
夫几何之学，暨理论算术、代数诸科，其立说之基，不过定义、公理而已；其推证之法，唯恃演绎为宗。然其推演之途，独彰奇质，简而能赅，繁而有序，谨严之态与周普之性，融贯如一，迥非他学可及也。——休厄尔《格致哲学》首部卷二第一章第二节（伦敦1858）
225. 数学思维的确凿性及其结论的必然正确，并非源于特殊的推理方式，而在于其所处理概念的特性。此特性为何？答曰：定义的精确性、明晰性与完备性。数学家何以获得这种完备性？并无玄妙伎俩——某些观念本就可臻此精确，余者则否；数学家无非专攻前者而已。——凯泽《宇宙及其外》《希伯特期刊》第三卷（1904-1905）第309页
夫数学思维之确凿，其结论之必然，非因推理之术独异，实缘所治概念之殊也。然则此殊性安在？盖定义之精审、朗彻与完备也。或问：数学家何以致此完备之境？初无幽渺之术——盖世间观念，有本可至精，有终难尽善，数学家不过专研前类耳。——凯泽《宇外论》《希伯特期刊》卷三（1904-1905）页三〇九
226. 数学家的推理建立在确定无误的原则上。每个术语都传达明确概念，通过精确定义在读者心中唤起与作者相同的意象。确定所用术语的定义后，他们提出若干公理或不言自明的原则——这些命题一经提出必获认同。继而设定无人能否认的公设（如过任意两点可作直线），从这些简明原则出发，他们构建起最惊人的理论，证明人类心智的广袤远超其他学科。——亚当斯《日记》《着作集》（波士顿1850）第二卷第21页
夫数学家之推衍，皆立基于确凿不移之准则。其所用术语，咸表明晰之概念，借精审之定义，使读者心目所现，与作者毫无二致。既定术语之义，乃陈公理数则，此皆不待辨说而自明，闻者莫不应然。复立公设，若“两点可连一直线”，确凿无疑，人莫能驳。自此简明之基，构筑宏论奇说，惊世骇俗，足证人心智之浩瀚，迥出他学之上也。——亚当斯《日录》《文集》（波士顿1850）卷二页廿一
227.
可以观察到，数学家只专注于确定无疑之事，而对存疑或未知之物避而不谈。他们并不宣称通晓万物，亦不妄论一切。唯有那些确认为真、并能以无可辩驳的论证验证的命题，才会被作为定理公开发表。对于其余事物，他们保持沉默、不作评判，宁可承认无知，也不轻率断言。在其论证或主张中，他们绝不纳入任何未经最严密检验且显而易见的内容，摒弃一切或然猜测与机巧诡辩。他们不屈服于权威，不纵容私好，憎恶文字游戏，并如同在法庭上一般不带激情、无需辩解地陈述观点——因为正如塞内卡所言，他们的理性不是为了说服，而是为了征服。——艾萨克·巴罗
（摘自《数学讲义》[伦敦，1734年]，第64页）
数学家之道，惟证确然，存疑则默。不诩通晓万物，不务臧否未明。其立说也，必待铁证连环而后着于竹帛；其存疑也，宁守阙知之慎，不作悬断之辞。凡所论必昭然若揭，凡所弃必浮辞臆说。不慑于权威，不溺于私好，耻诡辩之机巧，若明镜之判讼——盖如塞氏所言：「吾道非以服人，实以折人」。——艾萨克·巴罗（录自《数学讲章》，伦敦1734年版六十四页）
228. 数学的精确性，不恰恰就在于它自身的精确吗？这难道不是对真理的内在意识所产生的结果吗？——歌德《散文格言·自然》第6卷948条
数学之精，非其精自为精耶？此岂非公理内蕴、灵府昭然之果欤？——歌德《卮言·自然》卷六第九百四十八
229. 数学知识区别于其他知识的三大特征可简述如下：其一，数学在所有结果上比其他知识更显着地带有真理印记；其二，它始终是获取其他正确知识的可靠前提；其三，它无需依赖其他知识。——舒伯特《数学论文集与娱乐》（芝加哥1898）第35页
数学异于他学者三：一曰诸果皆彰真理之印尤着；二曰恒为得他确知之阶；三曰不假他学。——舒伯特《算学论丛》（芝加哥1898）页三五
230. 现在需要更明确地指出：为何数学不仅自身具有说服力，还能将这种说服力传递到其应用对象？原因首先在于基础数学概念被完美精确地定义——在这方面，每门学科都必须自力更生......但这并非全部。当人类思维尝试长推理链或处理复杂问题时，不仅会产生错误风险，更会引发对潜在错误的怀疑，因为无法同时清晰审视所有细节，最终只能相信没有遗漏任何环节。即便在最基础的算术运用中也是如此。没人会认为高等数学在这方面更优越；相反，在更复杂的推理中，不确定性和对隐藏错误的怀疑会迅速增加。数学如何摆脱这种如影随形的困扰？通过更严密的证明？通过制定应用旧规则的新规则？全然不是。每次单独运算的结果仍存在很大不确定性。但存在验证机制。在数学领域，每个结论都可通过百种不同途径抵达；当百川归海时，便能确信抵达了正确彼岸。未经检验的计算如同未计算。任何思辨科学中的孤立证明同样如此——无论证明多么精巧完美，都难以持久服人。因此，若有人希望在形而上学或依赖形而上学的心理学中，仅靠精确定义概念和逻辑推理就能获得确信（更遑论使他人信服），必将大失所望。不仅需要结论相互支撑而无强迫或偷换之嫌，对于源自经验或判断经验的议题，思辨结果还必须通过经验验证——不仅是表面验证，更要历经无数特例的考验。——赫尔巴特《着作集》第五卷（朗根萨尔察1890）第105页
今当明辨：数学之信，何以自生而能及于应用？盖其本在基理精严，界说确凿，此固诸学当效而自为者……然未尽焉。人心运思，若涉长算，或理繁题，非但有误谬之患，且生疑虑。盖众端难兼察，唯冀无失，即至简之筹算，犹然如此。高等数学，未得独免；反于深微推证，疑窦丛生，错漏愈隐。数学何以释此忧？非恃密证，非立新章。盖单算之果，犹存未明。然其善在有核验之法：一理可从百途而致，若万流归墟，则知所诣非妄。未验之算，与无算同；孤证之论，纵极工巧，终难久服。故欲于形而上之学，及倚此而立之心理诸论，仅恃界说精严、推证绵密，欲求自信而信人，必徒劳无功。理当使众说相维，无矫饰穿凿之弊；若涉经验之域，则所思所得，必征诸实事。非仅浅尝辄止，更须历遍千般，方能确然可信也。——赫尔巴特《文集》卷五（朗根萨尔察1890）页一〇五
231. [数学中]我们目睹人类意识逻辑活动最纯粹完美的形态。在此我们认识到这个过程的艰辛本质，必须付出的巨大谨慎，确定普遍命题精确范围所需的准确性，以及形成和理解抽象概念的困难；但在此我们也学会信赖这种智力活动的确定性、广延性和丰硕成果。——亥姆霍兹《自然科学与整体科学的关系》《演讲集》第一卷（1896）第176页
于数学之域，可见人类心智逻辑运化，至纯至善之态。其间可悟此道之艰：审慎之至，毫厘必究；界说命题，务求精准；构解玄理，殊非易事。然亦由此深悉，此心智之用，确凿无妄，广袤无垠，且能开物成务，硕果累累。
——亥姆霍兹《自然科学与整体科学之关系》，载《演讲集》第一卷（1896），第一百七十六页
232. 诚然，数学因其全部内容皆由少数普遍理解的原理通过纯粹逻辑演绎构建而成，被称为自明之理的科学实不为过。然而经验表明，对多数受过教育者（甚至科学家）而言，数学仍是不可理解的科学。——普林斯海姆《论数学的价值与所谓无价值》，《德国数学家联合会年报》（1904），第357页
数学诚以全数内容皆自少数共喻之理，依纯逻辑推演而成，谓之之学固宜。然历验所示，于多数学者（虽科学家亦然），数学终为不可解之学。——普林斯海姆《论算学之价与所谓无价》，《德国算学会年报》（1904），页三五七
233. 数学推理的演绎性体现在：它基于定义，只要（不考虑存在性）满足自洽性检验，其有效性即可确立。因此，只要被视为纯粹数学，其定义就无需外部验证。——怀特海德《普遍代数》（剑桥1898），前言第vi页
数学推演之性，显于其本乎界说，但求自洽（不论存否），其效即立。故为纯粹数学时，其界不待外验。——怀特海《泛代数》（剑桥1898），序页六
234. 数学家既不依赖证言，也不凭信猜测，而是完全通过论证推理从其定义与公理中演绎一切。事实上，任何基于猜测的建构都不配称为科学，因猜测只能产生见解，绝不能带来真知。——里德《人类智力论集》第一论第三章
数学家不徇众说，不凭臆测，惟自界说公理，以论证推演万物。夫基乎臆测者，不得称学，盖臆可生见，不能生知。——里德《人心智论》首论第三章